七级所得税率表
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2024.11.22贝叶斯回归可以用于在预估阶段的参数正则化: 正则化参数的选择不是通过人为的选择,而是通过手动调节数据值来实现。
上述过程可以通过引入 无信息先验 到模型中的超参数来完成。 在 岭回归中使用的
正则项相当于在
为高斯先验条件,且此先验的精确度为
时,求最大后验估计。在这里,我们没有手工调参数 lambda ,而是让他作为一个变量,通过数据中估计得到。
为了得到一个全概率模型,输出
也被认为是关于
的高斯分布。
Alpha 在这里也是作为一个变量,通过数据中估计得到。
贝叶斯回归有如下几个优点:
贝叶斯回归有如下缺点:
参考资料
一个对于贝叶斯方法的很好的介绍 C. Bishop: Pattern Recognition and Machine learning详细介绍原创算法的一本书 Bayesian learning for neural networks by Radford M. Neal
BayesianRidge 利用概率模型估算了上述的回归问题,其先验参数
是由以下球面高斯公式得出的:
先验参数
和
一般是服从 gamma 分布 ,这个分布与高斯成共轭先验关系。 得到的模型一般称为 贝叶斯岭回归,并且这个与传统的 Ridge 非常相似。
参数
是在模型拟合的时候一起被估算出来的,其中参数
通过最大似然估计得到。scikit-learn的实现是基于文献(Tipping,2001)的附录A,参数
的更新是基于文献(MacKay,1992)。
剩下的超参数
以及
是关于
和
的 gamma 分布的先验。 它们通常被选择为 无信息先验 。默认
贝叶斯岭回归用来解决回归问题:
>>> from sklearn import linear_model>>> X = [[0., 0.], [1., 1.], [2., 2.], [3., 3.]]>>> Y = [0., 1., 2., 3.]>>> reg = linear_model.BayesianRidge()>>> reg.fit(X, Y)BayesianRidge(alpha_1=1e-06, alpha_2=1e-06, compute_score=False, copy_X=True, fit_intercept=True, lambda_1=1e-06, lambda_2=1e-06, n_iter=300, normalize=False, tol=0.001, verbose=False)Copy
在模型训练完成后,可以用来预测新值:
>>> reg.predict ([[1, 0.]])array([ 0.50000013])Copy
权值
可以被这样访问:
>>> reg.coef_array([ 0.49999993,0.49999993])Copy
由于贝叶斯框架的缘故,权值与 普通最小二乘法 产生的不太一样。 但是,贝叶斯岭回归对病态问题(ill-posed)的鲁棒性要更好。
示例:
贝叶斯岭回归
参考资料
Section 3.3 in Christopher M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, 2006David J. C. MacKay, Bayesian Interpolation, 1992.Michael E. Tipping, Sparse Bayesian Learning and the Relevance Vector Machine, 2001.
ARDRegression (主动相关决策理论)和 Bayesian Ridge Regression 非常相似,但是会导致一个更加稀疏的权重w[1][2] 。
ARDRegression 提出了一个不同的
的先验假设。具体来说,就是弱化了高斯分布为球形的假设。
它采用
分布是与轴平行的椭圆高斯分布。
也就是说,每个权值
从一个中心在 0 点,精度为
的高斯分布中采样得到的。
并且
.
与 Bayesian Ridge Regression_ 不同, 每个
都有一个标准差
。所有
的先验分布 由超参数
确定的相同的 gamma 分布确定。
ARD 也被称为 稀疏贝叶斯学习 或 相关向量机 [3][4]。
示例:
Automatic Relevance Determination Regression (ARD)
参考资料:
[1] Christopher M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, Chapter 7.2.1[2] David Wipf and Srikantan Nagarajan: A new view of automatic relevance determination[3] Michael E. Tipping: Sparse Bayesian Learning and the Relevance Vector Machine[4] Tristan Fletcher: Relevance Vector Machines explained
logistic 回归,虽然名字里有 “回归” 二字,但实际上是解决分类问题的一类线性模型。在某些文献中,logistic 回归又被称作 logit 回归,maximum-entropy classification(MaxEnt,最大熵分类),或 log-linear classifier(对数线性分类器)。该模型利用函数 logistic function 将单次试验(single trial)的可能结果输出为概率。
scikit-learn 中 logistic 回归在 LogisticRegression 类中实现了二分类(binary)、一对多分类(one-vs-rest)及多项式 logistic 回归,并带有可选的 L1 和 L2 正则化。
注意,scikit-learn的逻辑回归在默认情况下使用L2正则化,这样的方式在机器学习领域是常见的,在统计分析领域是不常见的。正则化的另一优势是提升数值稳定性。scikit-learn通过将C设置为很大的值实现无正则化。
作为优化问题,带 L2罚项的二分类 logistic 回归要最小化以下代价函数(cost function):
类似地,带 L1 正则的 logistic 回归解决的是如下优化问题:
Elastic-Net正则化是L1 和 L2的组合,来使如下代价函数最小:
其中ρ控制正则化L1与正则化L2的强度(对应于l1_ratio参数)。
注意,在这个表示法中,假定目标y_i在测试时应属于集合[-1,1]。我们可以发现Elastic-Net在ρ=1时与L1罚项等价,在ρ=0时与L2罚项等价
在 LogisticRegression 类中实现了这些优化算法: liblinear, newton-cg, lbfgs, sag 和 saga。
liblinear应用了坐标下降算法(Coordinate Descent, CD),并基于 scikit-learn 内附的高性能 C++ 库 LIBLINEAR library 实现。不过 CD 算法训练的模型不是真正意义上的多分类模型,而是基于 “one-vs-rest” 思想分解了这个优化问题,为每个类别都训练了一个二元分类器。因为实现在底层使用该求解器的 LogisticRegression 实例对象表面上看是一个多元分类器。 sklearn.svm.l1_min_c 可以计算使用 L1时 C 的下界,以避免模型为空(即全部特征分量的权重为零)。
lbfgs, sag 和 newton-cg 求解器只支持 L2罚项以及无罚项,对某些高维数据收敛更快。这些求解器的参数 multi_class设为 multinomial 即可训练一个真正的多项式 logistic 回归 [5] ,其预测的概率比默认的 “one-vs-rest” 设定更为准确。
sag 求解器基于平均随机梯度下降算法(Stochastic Average Gradient descent) [6]。在大数据集上的表现更快,大数据集指样本量大且特征数多。
saga 求解器 [7] 是 sag 的一类变体,它支持非平滑(non-smooth)的 L1 正则选项 penalty="l1" 。因此对于稀疏多项式 logistic 回归 ,往往选用该求解器。saga求解器是唯一支持弹性网络正则选项的求解器。
lbfgs是一种近似于Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno算法[8]的优化算法,属于准牛顿法。lbfgs求解器推荐用于较小的数据集,对于较大的数据集,它的性能会受到影响。[9]
总的来说,各求解器特点如下:
默认情况下,lbfgs求解器鲁棒性占优。对于大型数据集,saga求解器通常更快。对于大数据集,还可以用 SGDClassifier ,并使用对数损失(log loss)这可能更快,但需要更多的调优。
示例:
Logistic回归中的L1罚项和稀疏系数L1罚项-logistic回归的路径多项式和OVR的Logistic回归newgroups20上的多类稀疏Logistic回归使用多项式Logistic回归和L1进行MNIST数据集的分类
与 liblinear 的区别:
当 fit_intercept=False 拟合得到的 coef_ 或者待预测的数据为零时,用 solver=liblinear 的 LogisticRegression 或 LinearSVC 与直接使用外部 liblinear 库预测得分会有差异。这是因为, 对于 decision_function 为零的样本, LogisticRegression 和 LinearSVC 将预测为负类,而 liblinear 预测为正类。 注意,设定了 fit_intercept=False ,又有很多样本使得 decision_function 为零的模型,很可能会欠拟合,其表现往往比较差。建议您设置 fit_intercept=True 并增大 intercept_scaling 。
注意:利用稀疏 logistic 回归进行特征选择
带 L1罚项的 logistic 回归 将得到稀疏模型(sparse model),相当于进行了特征选择(feature selection),详情参见 基于 L1 的特征选取。
LogisticRegressionCV 对 logistic 回归 的实现内置了交叉验证(cross-validation),可以找出最优的 C和l1_ratio参数 。newton-cg, sag, saga 和 lbfgs 在高维数据上更快,这是因为采用了热启动(warm-starting)。
参考资料:
[5] Christopher M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, Chapter 4.3.4[6] Mark Schmidt, Nicolas Le Roux, and Francis Bach: Minimizing Finite Sums with the Stochastic Average Gradient.[7] Aaron Defazio, Francis Bach, Simon Lacoste-Julien: SAGA: A Fast Incremental Gradient Method With Support for Non-Strongly Convex Composite Objectives.[8]https://en.wikipedia.org/wiki/Broyden%E2%80%93Fletcher%E2%80%93Goldfarb%E2%80%93Shanno_algorithm[9] “Performance Evaluation of Lbfgs vs other solvers”
随机梯度下降是拟合线性模型的一个简单而高效的方法。在样本量(和特征数)很大时尤为有用。 方法 partial_fit 可用于 online learning (在线学习)或基于 out-of-core learning (外存的学习)
SGDClassifier 和 SGDRegressor 分别用于拟合分类问题和回归问题的线性模型,可使用不同的(凸)损失函数,支持不同的罚项。 例如,设定 loss="log" ,则 SGDClassifier 拟合一个逻辑斯蒂回归模型,而 loss="hinge" 拟合线性支持向量机(SVM)。
参考资料
随机梯度下降
Perceptron 是适用于大规模学习的一种简单算法。默认情况下:
最后一点表明使用合页损失(hinge loss)的感知机比 SGD 略快,所得模型更稀疏。
被动攻击算法是大规模学习的一类算法。和感知机类似,它也不需要设置学习率,不过比感知机多出一个正则化参数 C 。
对于分类问题, PassiveAggressiveClassifier 可设定 loss='hinge' (PA-I)或 loss='squared_hinge'(PA-II)。对于回归问题, PassiveAggressiveRegressor 可设置 loss='epsilon_insensitive' (PA-I)或 loss='squared_epsilon_insensitive' (PA-II)。
参考资料:
“Online Passive-Aggressive Algorithms” K. Crammer, O. Dekel, J. Keshat, S. Shalev-Shwartz, Y. Singer - JMLR 7 (2006)
稳健回归(robust regression)特别适用于回归模型包含损坏数据(corrupt data)的情况,如离群点或模型中的错误。
处理包含离群点的数据时牢记以下几点:
稳健拟合(robust fitting)的一个重要概念是崩溃点(breakdown point),即拟合模型(仍准确预测)所能承受的离群值最大比例。
注意,在高维数据条件下( n_features大),一般而言很难完成稳健拟合,很可能完全不起作用。
寻找平衡: 预测器的选择
Scikit-learn提供了三种稳健回归的预测器(estimator): RANSAC , Theil Sen 和 HuberRegressor
HuberRegressor 一般快于 RANSAC 和 Theil Sen ,除非样本数很大,即 n_samples >> n_features 。 这是因为 RANSAC 和 Theil Sen 都是基于数据的较小子集进行拟合。但使用默认参数时, Theil Sen 和 RANSAC 可能不如 HuberRegressor 鲁棒。
RANSAC 比 Theil Sen 更快,在样本数量上的伸缩性(适应性)更好。RANSAC 能更好地处理y方向的大值离群点(通常情况下)。Theil Sen 能更好地处理x方向中等大小的离群点,但在高维情况下无法保证这一特点。 实在决定不了的话,请使用 RANSAC
随机抽样一致性算法(RANdom SAmple Consensus, RANSAC)利用全体数据中局内点(inliers)的一个随机子集拟合模型。
RANSAC 是一种非确定性算法,以一定概率输出一个可能的合理结果,依赖于迭代次数(参数 max_trials)。这种算法主要解决线性或非线性回归问题,在计算机视觉摄影测绘领域尤为流行。
算法从全体样本输入中分出一个局内点集合,全体样本可能由于测量错误或对数据的假设错误而含有噪点、离群点。最终的模型仅从这个局内点集合中得出。
每轮迭代执行以下步骤:
上述步骤或者迭代到最大次数( max_trials ),或者某些终止条件满足时停下(见 stop_n_inliers 和 stop_score )。最终模型由之前确定的最佳模型的局内点样本(一致性集合,consensus set)预测。
函数 is_data_valid 和 is_model_valid 可以识别出随机样本子集中的退化组合(degenerate combinations)并予以丢弃(reject)。即便不需要考虑退化情况,也会使用 is_data_valid ,因为在拟合模型之前调用它能得到更高的计算性能。
示例:
基于RANSAC的稳健线性模型估计稳健线性估计拟合
参考资料:
https://en.wikipedia.org/wiki/RANSAC“Random Sample Consensus: A Paradigm for Model Fitting with Applications to Image Analysis and Automated Cartography” Martin A. Fischler and Robert C. Bolles - SRI International (1981)“Performance Evaluation of RANSAC Family” Sunglok Choi, Taemin Kim and Wonpil Yu - BMVC (2009)
TheilSenRegressor 估计器:使用中位数在多个维度泛化,对多元异常值更具有鲁棒性,但问题是,随着维数的增加,估计器的准确性在迅速下降。准确性的丢失,导致在高维上的估计值比不上普通的最小二乘法。
示例:
广义中值估计器回归稳健线性估计拟合
参考资料:
https://en.wikipedia.org/wiki/Theil%E2%80%93Sen_estimator
TheilSenRegressor 在渐近效率和无偏估计方面足以媲美 Ordinary Least Squares (OLS) (普通最小二乘法(OLS))。与 OLS 不同的是, Theil-Sen 是一种非参数方法,这意味着它没有对底层数据的分布假设。由于 Theil-Sen 是基于中值的估计,它更适合于损坏的数据即离群值。 在单变量的设置中,Theil-Sen 在简单的线性回归的情况下,其崩溃点大约 29.3% ,这意味着它可以容忍任意损坏的数据高达 29.3% 。
scikit-learn 中实现的 TheilSenRegressor 是多元线性回归模型的推广 [8] ,利用了空间中值方法,它是多维中值的推广 [9] 。
关于时间复杂度和空间复杂度,Theil-Sen 的尺度根据
这使得它不适用于大量样本和特征的问题。因此,可以选择一个亚群的大小来限制时间和空间复杂度,只考虑所有可能组合的随机子集。
示例:
广义中值估计器回归
参考资料:
[10] Xin Dang, Hanxiang Peng, Xueqin Wang and Heping Zhang: Theil-Sen Estimators in a Multiple Linear Regression Model. |[11] Kärkkäinen and S. Äyrämö: On Computation of Spatial Median for Robust Data Mining.
HuberRegressor 与 Ridge 不同,因为它对于被分为异常值的样本应用了一个线性损失。如果这个样品的绝对误差小于某一阈值,样品就被分为内围值。 它不同于 TheilSenRegressor 和 RANSACRegressor ,因为它没有忽略异常值的影响,并分配给它们较小的权重。
这个 HuberRegressor 最小化的损失函数是:
其中
建议设置参数 epsilon 为 1.35 以实现 95% 统计效率。
HuberRegressor 与将损失设置为 huber的 SGDRegressor 并不相同,体现在以下方面的使用方式上。
示例:
强异常数据集上的huberregression与 Ridge
参考资料:
Peter J. Huber, Elvezio M. Ronchetti: Robust Statistics, Concomitant scale estimates, pg 172
另外,这个估计是不同于 R 实现的 Robust Regression (http://www.ats.ucla.edu/stat/r/dae/rreg.htm) ,因为 R 实现加权最小二乘,权重考虑到每个样本并基于残差大于某一阈值的量。
机器学习中一种常见的模式,是使用线性模型训练数据的非线性函数。这种方法保持了一般快速的线性方法的性能,同时允许它们适应更广泛的数据范围。
例如,可以通过构造系数的 polynomial features 来扩展一个简单的线性回归。在标准线性回归的情况下,你可能有一个类似于二维数据的模型:
如果我们想把抛物面拟合成数据而不是平面,我们可以结合二阶多项式的特征,使模型看起来像这样:
观察到这 还是一个线性模型 (这有时候是令人惊讶的): 看到这个,想象创造一个新的变量
有了这些重新标记的数据,我们可以将问题写成
我们看到,所得的 polynomial regression 与我们上文所述线性模型是同一类(即关于
是线性的),因此可以用同样的方法解决。通过用这些基函数建立的高维空间中的线性拟合,该模型具有灵活性,可以适应更广泛的数据范围。
这里是一个示例,使用不同程度的多项式特征将这个想法应用于一维数据:
这个图是使用 PolynomialFeatures 预创建。该预处理器将输入数据矩阵转换为给定度的新数据矩阵。使用方法如下:
>>> from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures>>> import numpy as np>>> X = np.arange(6).reshape(3, 2)>>> Xarray([[0, 1], [2, 3], [4, 5]])>>> poly = PolynomialFeatures(degree=2)>>> poly.fit_transform(X)array([[1.,0.,1.,0.,0.,1.], [1.,2.,3.,4.,6.,9.], [1.,4.,5.,16.,20.,25.]])Copy
X 的特征已经从
转换到
, 并且现在可以用在任何线性模型。
这种预处理可以通过 Pipeline 工具进行简化。可以创建一个表示简单多项式回归的单个对象,使用方法如下所示:
>>> from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures>>> from sklearn.linear_model import LinearRegression>>> from sklearn.pipeline import Pipeline>>> import numpy as np>>> model = Pipeline([('poly', PolynomialFeatures(degree=3)),...('linear', LinearRegression(fit_intercept=False))])>>> # fit to an order-3 polynomial data>>> x = np.arange(5)>>> y = 3 - 2 * x + x ** 2 - x ** 3>>> model = model.fit(x[:, np.newaxis], y)>>> model.named_steps['linear'].coef_array([ 3., -2.,1., -1.])Copy
利用多项式特征训练的线性模型能够准确地恢复输入多项式系数。
在某些情况下,没有必要包含任何单个特征的更高的幂,只需要相乘最多
个不同的特征即可,所谓 interaction features(交互特征) 。这些可通过设定 PolynomialFeatures 的 interaction_only=True 得到。
例如,当处理布尔属性,对于所有
,因此是无用的;但
代表两布尔结合。这样我们就可以用线性分类器解决异或问题:
>>> from sklearn.linear_model import Perceptron>>> from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures>>> import numpy as np>>> X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])>>> y = X[:, 0] ^ X[:, 1]>>> yarray([0, 1, 1, 0])>>> X = PolynomialFeatures(interaction_only=True).fit_transform(X).astype(int)>>> Xarray([[1, 0, 0, 0], [1, 0, 1, 0], [1, 1, 0, 0], [1, 1, 1, 1]])>>> clf = Perceptron(fit_intercept=False, max_iter=10, tol=None,...shuffle=False).fit(X, y)Copy
分类器的 “predictions” 是完美的:
>>> clf.predict(X)array([0, 1, 1, 0])>>> clf.score(X, y)1.0Copy
一直在努力!
最后,小编想说:我是一名python开发工程师,
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